Формула за изчисляване на Z-резултат
Z-резултатът на суровите данни се отнася до резултата, генериран чрез измерване на това колко стандартни отклонения над или под популацията означават данните, което помага при тестване на разглежданата хипотеза. С други думи, това е разстоянието на дадена точка от средното население, което се изразява като кратно на стандартното отклонение.
- Z-резултатите варират в диапазона от -3 пъти стандартното отклонение (вляво от нормалното разпределение) до +3 пъти стандартното отклонение (вдясно от нормалното разпределение).
- Z-резултатите имат средно 0 и стандартно отклонение 1.
Уравнението за z-резултат на точка от данните се изчислява чрез изваждане на средната стойност на популацията от точката на данни (наричана x ) и след това резултатът се разделя на стандартното отклонение на популацията. Математически се представя като,
Z Резултат = (x - μ) / ơ
където
- x = Datapoint
- μ = средно
- ơ = Стандартно отклонение
Изчисляване на Z резултат (стъпка по стъпка)
Уравнението за z-резултата на точка от данни може да бъде изведено, като се използват следните стъпки:
- Стъпка 1: Първо, определете средната стойност на набора от данни въз основа на точките от данни или наблюденията, които се означават с x i , докато общият брой точки от данни в набора от данни се обозначава с N.
- Стъпка 2: След това определете стандартното отклонение на популацията въз основа на средната популация μ, точките на данни x i и броя на точките от данни в популацията N.
- Стъпка 3: Накрая, z-резултатът се извлича чрез изваждане на средната стойност от точката с данни и след това резултатът се разделя на стандартното отклонение, както е показано по-долу.
Примери
Пример # 1
Нека вземем примера с клас от 50 ученици, които са написали теста по наука миналата седмица. Днес е резултатният ден и класният ръководител ми каза, че Джон е вкарал 93 в теста, докато средният резултат в класа е 68. Определете z-резултата за тестовата оценка на Джон, ако стандартното отклонение е 13.
Решение:
Като се има предвид,
- Тест на Джон, x = 93
- Средно, μ = 68
- Стандартно отклонение, ơ = 13
Следователно, z-резултатът за тестовия резултат на Джон може да се изчисли, използвайки горната формула като,
Z = (93 - 68) / 13
Z резултат ще бъде -
Z резултат = 1,92
Следователно, оценката на John's Ztest е 1,92 стандартно отклонение над средния резултат в класа, което означава, че 97,26% от класа (49 ученика) са отбелязали по-малко от John.
Пример # 2
Нека вземем друг подробен пример за 30 ученика (тъй като z-тестът не е подходящ за по-малко от 30 точки от данни), които се явиха за тест в клас. Определете резултата от z-теста за 4 -ия студент въз основа на оценките, отбелязани от студентите от 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Решение:
Като се има предвид,
- x = 65,
- 4 -ти ученик отбеляза = 65,
- Брой точки с данни, N = 30.
Средно = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Средно = 71.30
Сега стандартното отклонение може да бъде изчислено с помощта на формулата, както е показано по-долу,
ơ = 13,44
Следователно, Z-резултатът на 4 -ия ученик може да бъде изчислен, използвайки горната формула като,
Z = (x - x) / s
- Z = (65 -30) / 13.44
- Z = -0,47
Следователно резултатът на 4 -ия ученик е 0,47 стандартно отклонение под средния резултат на класа, което означава, че 31,92% от класа (10 ученика) са отбелязали по-малко от 4 -ия ученик според таблицата с z-score.
Z резултат в Excel (с шаблон на Excel)
Сега, нека вземем случая, споменат в пример 2, за да илюстрираме концепцията за z-score в шаблона на Excel по-долу.
По-долу са дадени данни за изчисляване на Z Score.
Можете да се обърнете към дадения лист на Excel по-долу за подробно изчисляване на статистиката на теста за формулата Z Score
Уместност и употреба
От гледна точка на тестването на хипотези, z-score е много важна концепция, която трябва да се разбере, тъй като се използва, за да се провери дали дадена статистика на теста попада в приемливия диапазон на стойност. Z-резултатът също се използва за стандартизиране на данните преди анализ, изчисляване на вероятността за резултат или сравнение на две или повече точки от данни, които са от различни нормални разпределения. Ако се прилага правилно, има разнообразно приложение на z-score в полетата.
