Какво е лог-нормално разпределение?
Логаритно-нормално разпределение е непрекъснато разпределение на случайни променливи, чиито логаритми се разпределят нормално. С други думи, логарифмичното разпределение се генерира от функцията на e x , където x (произволна променлива) трябва да бъде нормално разпределена. В естествения логаритъм на e x е x, логаритмите на ненормално разпределени случайни променливи обикновено се разпределят.
Променлива X обикновено се разпределя, ако Y = ln (X), където ln е естественият логаритъм.
- Y = e x
- Нека приемем естествен логаритъм от двете страни.
- lnY = ln e x, което води до lnY = x
Следователно можем да кажем, че ако X като случайна променлива има нормално разпределение, тогава Y има логаритно разпределение.
Формула за нормално разпределение на дневника
Формулата за функцията на вероятностната плътност на логарифмичното нормално разпределение се определя от средната стойност на μ и стандартното отклонение σ, което се обозначава с:
Параметри на нормално разпределение в дневника
Логаритно-нормалното разпределение се характеризира със следните три параметъра:
- σ , стандартното отклонение на дневника на разпределението, което се нарича още параметър на формата. Параметърът на формата обикновено влияе върху цялостната форма на логарифмичното разпределение, но не оказва влияние върху местоположението и височината на графиката.
- m , медианата на разпределението, известна също като параметър на мащаба.
- Θ , параметърът на местоположението, който се използва за намиране на графиката по оста x.
Средното и стандартното отклонение са два основни параметъра на логарифмичното разпределение и изрично се дефинират от тези два параметъра.
Следващата фигура илюстрира нормалното разпределение и нормалното разпределение в дневника.
От горната фигура бихме могли да отбележим следните характеристики на логаритарното разпределение.
- Логарифмичните нормални разпределения са положително изкривени надясно поради по-ниски средни стойности и по-голяма дисперсия в случайните променливи в съображенията.
- Ненормалното разпределение винаги е ограничено отдолу с 0, тъй като помага при моделирането на цените на активите, които не се очаква да носят отрицателни стойности.
- Логнормалното разпределение е изкривено положително с голям брой малки стойности и включва няколко основни стойности, които водят до това, че средната честота е много по-голяма от режим.
От горната фигура можем да забележим, че нормалното разпределение на логаритъма е ограничено от 0 и е положително изкривено надясно, което може да се забележи от дългата му опашка вдясно. Тези две наблюдения се считат за основните свойства на логнормалните разпределения. На практика логаритарните разпределения се оказаха много полезни при разпределението на цените на собствения капитал или активите, докато нормалното разпределение е много полезно при оценката на очакваната възвръщаемост на актива за определен период от време.
Примери за логарифмично нормално разпределение
По-долу са дадени някои примери, при които могат да се използват нормални в логарита разпределения:
- Обемът на газа в енергийния и петролния резерв.
- Обемът на производството на мляко.
- Количеството на валежите.
- Потенциалният живот на производствените и индустриалните единици, чиито шансове за оцеляване се характеризират със степента на стрес.
- Степента на периоди, до които съществува инфекциозно заболяване.
Приложение и използване на нормално разпределение в дневника
По-долу са приложения и употреби на нормално за дневника разпределение.
- Най-често използваното и популярно разпределение е нормално разпределение, което обикновено е разпределено и симетрично и образува камбановидна крива, която е моделирала различни естествени от прости до много сложни.
- Но има случаи, при които нормалното разпределение се сблъсква с ограничения, при които ненормалното разпределение може лесно да се приложи. Нормалното разпределение може да разглежда отрицателна случайна променлива, но lognormal разпределението предвижда само положителни случайни променливи.
- Едно от различните приложения, при които ненормалното разпределение се използва във финансите, когато се прилага при анализа на цените на активите. Очакваната възвръщаемост на активите се изобразява при нормално разпределение, но цените на активите се изобразяват при логаритно разпределение.
- С помощта на логаритарната крива на разпределение можем лесно да изчислим сложната норма на възвръщаемост на активите за определен период от време.
- В случай, че сме приложили нормално разпределение за изчисляване на цените на активите за определен период от време, има възможности за получаване на възвръщаемост по-малка от -100%, което впоследствие приема цените на активите по-малко от 0. Но ако използваме ненормално разпределение за оценка на съединението норма на възвръщаемост за определен период от време, ние можем лесно да се предпазим от ситуацията с получаване на отрицателна възвръщаемост, тъй като логаритарното разпределение разглежда само положителни случайни величини
- Относителна цена е цената на актива в края на периода, разделена на първоначалната цена на актива, която е равна на 1 плюс доходност от периода на държане. За да намерим края на актива на цената на периода, можем да получим същото, като го умножим с относителна цена по първоначалната цена на активите. Ненормалното разпределение има само положителна стойност; следователно цената на актива в края на периода не може да бъде под 0.
Логаритно нормално разпределение при моделиране на цените на акциите
Логаритарното нормално разпределение се използва за моделиране на вероятностното разпределение на акциите и много други цени на активите. Например, забелязахме, че ненормално се появява в модела за ценообразуване на опцията Блек-Скоулс-Мертън, където съществува предположението, че цената на базовия вариант на актива се разпределя ненормално едновременно.
Заключение
- Нормалното разпределение е разпределението на вероятностите, за което се казва, че е асиметричната и камбановидната крива. При нормално разпределение 69% от резултата попада в рамките на едно стандартно отклонение, а 95% попада в рамките на двете стандартни отклонения.
- Поради популярността на нормалното разпространение, повечето хора са запознати с концепцията и приложението на нормалното разпределение, но по това време те не изглеждат еднакво запознати с концепцията за логаритно разпределение. Нормалното разпределение може да се преобразува в логаритно разпределение с помощта на логаритми, което се превръща в основната основа, тъй като логарифмичните разпределения разглеждат единствената случайна променлива, която обикновено се разпределя.
- Ненормални разпределения могат да се използват заедно с нормалното разпределение. Логнормалните разпределения са резултат от приемането на ln, естествен логаритъм, в който основата е равна на e = 2.718. В допълнение към дадената основа, логарифмичното разпределение може да бъде направено с помощта на друга база, което впоследствие би повлияло на формата на логаритарното разпределение.
- Логаритарното разпределение графицира дневника на нормално разпределените случайни променливи от нормалните криви на разпределение. Ln, естественият дневник е известен e, степен, на която трябва да се повиши база, за да се получи желаната случайна променлива x, която може да бъде намерена на нормалната крива на разпределение.
