Определение на централната гранична теорема
Теоремата за централната граница гласи, че случайните проби от случайна променлива на популацията с каквото и да е разпределение ще се приближат към нормално разпределение на вероятността, тъй като размерът на извадката се увеличава и приема, че тъй като размерът на извадката в популацията надвишава 30, средната стойност от извадката, която средната стойност на всички наблюдения за извадката ще бъде близка до равна на средната стойност за популацията.
Формула на централната гранична теорема
Вече обсъдихме, че когато размерът на извадката надхвърли 30, разпределението приема формата на нормално разпределение. За определяне на нормалното разпределение на дадена променлива е важно да се знае нейната средна стойност и нейната дисперсия. Нормално разпределение може да се посочи като
X ~ N (µ, α)
Където
- N = няма наблюдения
- µ = средна стойност на наблюденията
- α = стандартно отклонение
В повечето случаи наблюденията не разкриват много в суров вид. Затова е жизненоважно да се стандартизират наблюденията, за да може да се сравни това. Това се прави с помощта на z-score. Необходимо е да се изчисли Z-резултатът за наблюдение. Формулата за изчисляване на z-резултата е
Z = (X- µ) / α / √n
Където
- Z = Z-оценка на наблюденията
- µ = средна стойност на наблюденията
- α = стандартно отклонение
- n = размер на пробата
Обяснение
Теоремата за централната граница гласи, че случайните извадки на случайна променлива на популацията с каквото и да е разпределение ще се приближат към това да бъдат нормално разпределение на вероятностите с увеличаване на размера на извадката. Теоремата за централната граница предполага, че тъй като размерът на извадката в популацията надвишава 30, средната стойност на извадката, която средната стойност на всички наблюдения за извадката, ще бъде близка до средната за популацията. Също така, стандартното отклонение на извадката, когато размерът на извадката надвишава 30, ще бъде равно на стандартното отклонение на популацията. Тъй като извадката е избрана на случаен принцип от цялата популация и размерът на извадката е повече от 30, тогава тя помага при тестване на хипотези и изграждане на доверителен интервал за тестване на хипотезата.
Примери за формула на теорема за централната граница (с шаблон на Excel)
Пример # 1
Нека разберем концепцията за нормално разпределение с помощта на пример. Средната възвръщаемост от взаимен фонд е 12%, а стандартното отклонение от средната възвръщаемост за инвестицията на взаимния фонд е 18%. Ако приемем, че разпределението на възвръщаемостта е нормално разпределено, тогава нека интерпретираме разпределението на възвръщаемостта в инвестицията на взаимния фонд.
Като се има предвид,
- Средната възвръщаемост на инвестицията ще бъде 12%
- Стандартното отклонение ще бъде 18%
И така, за да открием възвръщаемостта за 95% доверителен интервал, можем да го разберем, като решим уравнението като
- Горна гама = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Долен диапазон = 12 - 1,96 (18) = -23%
Резултатът означава, че 95% от случаите възвръщаемостта от взаимния фонд ще бъде в диапазона от 47% до -23%. В този пример размерът на извадката, който е връщането на произволна извадка от повече от 30 наблюдения на възвръщаемостта, ще ни даде резултата за възвръщаемостта на съвкупността от взаимния фонд, тъй като разпределението на извадката ще бъде нормално разпределено.
Пример # 2
Продължавайки със същия пример, нека определим какъв ще бъде резултатът за 90% доверителен интервал
Като се има предвид,
- Средната възвръщаемост на инвестицията ще бъде 12%
- Стандартното отклонение ще бъде 18%
И така, за да открием възвръщаемостта за 90% доверителен интервал, можем да го разберем, като решим уравнението като
- Горна граница = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Долен диапазон = 12 - 1,65 (18) = -18%
Резултатът означава, че в 90% от случаите възвръщаемостта от взаимния фонд ще бъде в диапазона от 42% до -18%.
Пример # 3
Продължавайки със същия пример, нека определим какъв ще бъде резултатът за 99% доверителен интервал
Като се има предвид,
- Средната възвръщаемост на инвестицията ще бъде 12%
- Стандартното отклонение ще бъде 18%
И така, за да открием възвръщаемостта за 90% доверителен интервал, можем да го разберем, като решим уравнението като
- Горна граница = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Долен диапазон = 12 - 2,58 (18) = -34%
Резултатът означава, че доходността от взаимния фонд в 99% от случаите ще бъде в диапазона от 58% до -34%.
Уместност и употреба
Теоремата за централната граница е изключително полезна, тъй като позволява на изследователя да предскаже средната стойност и стандартното отклонение на цялата популация с помощта на извадката. Тъй като извадката е избрана на случаен принцип от цялата популация и размерът на извадката е повече от 30, тогава всеки произволен размер на извадката, взет от популацията, ще се приближи към нормалното разпределение, което ще помогне при тестване на хипотези и изграждане на интервала на доверие тестване на хипотези. Въз основа на теоремата за централната граница, изследователят е в състояние да избере произволна извадка от цялата популация и когато размерът на извадката е повече от 30,тогава той може да предскаже популацията с помощта на извадката, тъй като пробата ще следва нормално разпределение, а също като средната стойност и стандартното отклонение на пробата ще бъде същото като средното и стандартното отклонение на популацията.
