Определение за хипергеометрично разпределение
В статистиката и теорията на вероятностите хипергеометричното разпределение е основно обособено разпределение на вероятностите, което определя вероятността от k успеха (т.е. някои произволни тиражи за начертания обект, който има някаква определена характеристика) в n брой тиражи, без никаква замяна, от даден размер на популацията N, който включва точно K обекти с тази характеристика, където тегленето може да успее или да се провали.
Формулата за вероятността от хипергеометрично разпределение се извежда, като се използват брой елементи в популацията, брой елементи в извадката, брой успехи в популацията, брой успехи в извадката и няколко комбинации. Математически вероятността се представя като,
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
където,
- N = Брой елементи в популацията
- n = брой елементи в извадката
- K = Брой успехи в популацията
- k = брой успехи в извадката
Средното и стандартното отклонение на хипергеометричното разпределение се изразява като,
Средно = n * K / N Стандартно отклонение = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Обяснение
Стъпка 1: Първо, определете общия брой предмети в популацията, който се обозначава с N. Например, броят на игралните карти в тесте е 52.
Стъпка 2: След това определете броя на елементите в извадката, обозначени с n - например броя на картите, изтеглени от тестето.
Стъпка 3: След това определете случаите, които ще се считат за успехи в популацията, и се обозначава с К. Например броят на сърцата в общата колода, който е 13.
Стъпка 4: След това определете случаите, които ще се считат за успехи в извадената проба, и тя се обозначава с k. Например броят на сърцата в картите, изтеглени от тестето.
Стъпка 5: Накрая формулата за вероятността от хипергеометрично разпределение се извежда, като се използват брой елементи в популацията (стъпка 1), брой елементи в извадката (стъпка 2), брой успехи в популацията (стъпка 3) и брой успехи в извадката (стъпка 4), както е показано по-долу.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nПримери за хипергеометрично разпределение (с шаблон на Excel)
Пример # 1
Нека вземем за пример обикновена колода от игрални карти, където 6 карти се теглят на случаен принцип, без да бъдат заменени. Определете вероятността да нарисувате точно 4 червени суитни карти, т.е. диаманти или сърца.
- Като се има предвид, N = 52 (тъй като има 52 карти в обикновена игрална колода)
- n = 6 (Брой карти, изтеглени на случаен принцип от тестето)
- K = 26 (тъй като има 13 червени картона всеки в диаманти и сърца)
- k = 4 (Брой червени картони, които трябва да се считат за успешни в извадката)
Решение:
Следователно вероятността да изтеглите точно 4 червени суитни карти в изтеглените 6 карти може да се изчисли, използвайки горната формула като,
Вероятност = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 С 4 * (52 - 26) С (6 - 4) / 52 С 6
= 26 ° С 4 * 26 ° С 2 / 52 С 6
= 14950 * 325/20358520
Вероятността ще бъде -
Вероятност = 0,2387 ~ 23,87%
Следователно има 23,87% вероятност да изтеглите точно 4 червени картона, докато изтегляте 6 произволни карти от обикновена колода.
Пример # 2
Нека вземем друг пример за портфейл, който съдържа 5 банкноти от 100 долара и 7 банкноти от 1 долар. Ако случайно са избрани 4 банкноти, тогава определете вероятността да изберете точно 3 банкноти от 100 долара.
- Дадено, N = 12 (Брой банкноти от $ 100 + Брой от $ 1 сметки)
- n = 4 (Брой сметки, избрани на случаен принцип)
- K = 5 (тъй като има 5 банкноти от 100 $)
- k = 3 (Брой банкноти от $ 100, които се считат за успех в избраната извадка)
Решение:
Следователно вероятността да изберете точно 3 банкноти от 100 долара в произволно избраните 4 банкноти може да бъде изчислена, използвайки горната формула като,
Вероятност = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4
= 5 С 3 * 7 C 1 / 12 ° С 4
= 10 * 7/495
Вероятността ще бъде -
Вероятност = 0,1414 ~ 14,14%
Следователно, има 14,14% вероятност да изберете точно 3 банкноти от 100 долара, докато изтеглите 4 случайни сметки.
Уместност и употреба
Концепцията за хипергеометрично разпределение е важна, тъй като осигурява точен начин за определяне на вероятностите, когато броят на опитите не е много голям и че пробите се вземат от крайна популация без замяна. Всъщност хипергеометричното разпределение е аналогично на биномното разпределение, което се използва, когато броят на опитите е значително голям. Въпреки това, хипергеометричното разпределение се използва предимно за вземане на проби без замяна.
