Totient функция на Euler - значение, примери, как да се изчисли?

Какво представлява функцията Totient на Euler?

Функцията Totient на Ойлер е математическата мултипликативна функция, която отчита положителните цели числа до дадено цяло число, наречено обикновено „n“, което е просто число до „n“ и функцията се използва, за да знае броя на простите числа, които съществуват до дадено цяло число 'n'.

Обяснение

За да се знае колко прости числа идват до дадено цяло число 'n' функцията Totient на Euler. Нарича се още аритметична функция. За приложение или използване на функцията Totient на Euler са важни две неща. Единият е, че gcd, образуван от дадено цяло число 'n', трябва да се мултиплицира помежду си, а другият е номерата на gcd трябва да са само простите числа. Цялото число 'n' в този случай трябва да бъде повече от 1. От отрицателно цяло число не е възможно да се изчисли функцията на Ойлер Totient. В този случай принципът е, че за ϕ (n) умножителите, наречени m и n, трябва да са по-големи от 1. Следователно обозначени с 1

История

Ойлер въвежда тази функция през 1763. Първоначално Ойлер използва гръцката π за обозначаване на функцията, но поради някои проблеми, неговата денотация на гръцки π не получава признанието. И той не успя да му даде правилния нотационен знак, т.е. ϕ. Следователно функцията не може да бъде въведена. Освен това, ϕ е взето от Gauss's 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Функцията се нарича и функция phi. Но JJ Sylvester, през 1879 г., включва термина totient за тази функция поради свойствата и употребата на функциите. Различните правила са оформени така, че да се справят с различни видове цели числа, ако цялото число p е просто число, кое правило да се приложи и т.н. всички правила, оформени от Ойлер, са практически осъществими и могат да се използват дори днес, докато се занимавате с един и същ.

Свойства на функцията на Ойлер

Има някои от различните свойства. Някои от свойствата на толериращата функция на Ойлер са както при:

  • Φ е символът, използван за обозначаване на функцията.
  • Функцията се занимава с теорията на простите числа.
  • Функцията е приложима само в случай на положителни цели числа.
  • За ϕ (n) трябва да се намерят две умножителни прости числа, за да се изчисли функцията.
  • Функцията е математическа функция и полезна в много отношения.
  • Ако цяло число 'n' е просто число, тогава gcd (m, n) = 1.
  • Функцията работи по формулата 1 <m <n, където m и n са прости числа и мултипликативни числа.
  • Като цяло уравнението е
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Функцията основно отчита броя на положителните цели числа, по-малък от даденото цяло число, което е относително прости числа към даденото цяло число.
  • Ако дадено цяло число p е просто, тогава ϕ (p) = p - 1
  • Ако мощността на p е главна, тогава a = p n е основна степен, тогава ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) не е едно - едно
  • ϕ (n) не е върху.
  • ϕ (n), n> 3 е винаги четно.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Изчислете Totient функцията на Euler

Пример # 1

Изчисли ϕ (7)?

Решение:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Тъй като всички числа са прости до 7, следователно улесни изчисляването на ϕ.

Пример # 2

Изчисли ϕ (100)?

Решение:

Тъй като 100 е голямо число, следователно отнема много време да се изчислят от 1 до 100 прости числа, които са прости числа със 100. Следователно ние прилагаме формулата по-долу:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Пример # 3

Изчисли ϕ (240)?

Кратните на 240 са 16 * 5 * 3, т.е. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

ако n M не е просто число, използваме n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Пример # 4

Изчисли ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Приложения

Различните приложения са както по-долу:

  • Функцията се използва за дефиниране на RSA система за криптиране, използвана за криптиране на интернет сигурността.
  • Използва се в теорията на прости числа.
  • Използва се и при големи изчисления.
  • Използва се в приложения на елементарната теория на числата.

Заключение

Totient функцията на Euler е полезна в много отношения. Използва се в системата за криптиране RSA, която се използва за целите на сигурността. Функцията се занимава с теорията на простите числа и е полезна и при изчисляването на големи изчисления. Функцията се използва и при алгебрични изчисления и елементарни числа. Символът, използван за обозначаване на функцията, е ϕ и се нарича още функция phi. Функцията се състои по-скоро от теоретична, отколкото от практическа употреба. Практическото използване на функцията е ограничено. Функцията може да бъде разбрана по-добре чрез различните практически примери, а не само чрез теоретични обяснения. Има различни правила за изчисляване на функцията на Ойлер, а за различни числа трябва да се прилагат различни правила. Функцията е въведена за първи път през 1763 г., но поради някои проблеми,получи признание през 1784 г., а името е модифицирано през 1879 г. Функцията е универсална функция и може да се прилага навсякъде.

Интересни статии...