Формула за изчисляване на биномно разпределение
Формулата за биномно разпределение се използва за изчисляване на вероятността за получаване на x успеха в n опити от биномния експеримент, които са независими и вероятността се извежда чрез комбинация между броя на опитите и броя на успехите, представени от nCx, се умножава по вероятността за постигнат успех до степен на брой успехи, представени от px, което допълнително се умножава по вероятност за неуспех, повишена до степен на разлика между броя на успеха и броя на опитите, представени от (1-p) nx.
Вероятността да се получат x успехи в n независими опити на биномен експеримент се дава от следната формула на биномно разпределение:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
където p е вероятността за успех
В горното уравнение се използва n C x , което не е нищо друго освен комбинационна формула. Формулата за изчисляване на комбинации е дадена като n C x = n! / х! (nx)! където n представлява броя на елементите (независими опити), а x представлява броя на елементите, избрани в даден момент (успехи).
В случай, че n = 1 в биномно разпределение, разпределението е известно като разпределение на Бернули. Средната стойност на биномно разпределение е np. Дисперсията на биномното разпределение е np (1-p).
Изчисляване на биномното разпределение (стъпка по стъпка)
Изчисляването на биномно разпределение може да бъде получено чрез следните четири прости стъпки:
- Стъпка 1: Изчислете комбинацията между броя на опитите и броя на успехите. Формулата за n C x е където n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. За число n факториалът на n може да бъде записан като n! = n * (n-1)! Например 5! е 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Стъпка 2: Изчислете вероятността за успех, увеличена до степента на броя на успехите, които са p x .
- Стъпка 3: Изчислете вероятността за неуспех, увеличена до степента на разликата между броя на успехите и броя на опитите. Вероятността за отказ е 1-p. По този начин това се отнася до получаване на (1-p) nx
- Стъпка 4: Разберете произведението на резултатите, получени в Стъпка 1, Стъпка 2 и Стъпка 3.
Примери
Пример # 1
Броят на опитите (n) е 10. Вероятността за успех (p) е 0,5. Направете изчислението на биномно разпределение, за да изчислите вероятността да получите точно шест успеха.
Решение:
Използвайте следните данни за изчисляване на биномно разпределение.
Изчисляването на биномно разпределение може да се направи, както следва,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Вероятността да постигнете точно 6 успеха ще бъде-
P (x = 6) = 0,2051
Вероятността да постигнете точно 6 успеха е 0,2051
Пример # 2
Мениджър на застрахователна компания преглежда данните на застрахователните полици, продавани от застрахователни търговци, работещи при него. Той открива, че 80% от хората, които закупуват автомобилна застраховка, са мъже. Той иска да разбере, че ако 8 собственици на автомобилни застраховки бъдат избрани на случаен принцип, каква би била вероятността точно 5 от тях да са мъже.
Решение: Първо трябва да разберем какво са n, p и x.
Изчисляването на биномно разпределение може да се направи, както следва,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0.8) 5 (1-0.8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Вероятността от точно 5 успеха ще бъде-
P (x = 5) = 0,14680064
Вероятността точно 5 собственици на автомобилни застраховки да са мъже е 0,14680064.
Пример # 3
Ръководството на болницата е развълнувано от въвеждането на ново лекарство за лечение на пациенти с рак, тъй като шансът човек да бъде лекуван успешно от него е много голям. Вероятността пациентът да бъде успешно лекуван от лекарството е 0,8. Лекарството се дава на 10 пациенти. Намерете вероятността 9 или повече пациенти да бъдат успешно лекувани от него.
Решение: Първо трябва да разберем какво е n, p и x.
Трябва да открием вероятността 9 или повече пациенти да бъдат успешно лекувани от него. По този начин или 9 или 10 пациенти се лекуват успешно от него
x (число, за което трябва да намерите вероятност) = 9 или x = 10
Трябва да намерим P (9) и P (10)
Изчисляването на биномно разпределение за намиране на P (x = 9) може да се направи, както следва,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0.8) 9 (1-0.8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Вероятността за 9 пациенти ще бъде-
P (x = 9) = 0,2684
Изчисляването на биномно разпределение за намиране на P (x = 10) може да се направи, както следва,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Вероятността за 10 пациенти ще бъде-
P (x = 10) = 0,1074
Следователно, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
По този начин вероятността 9 или повече пациенти да бъдат лекувани от лекарството е 0,375809638.
Калкулатор на двучленно разпределение
Можете да използвате следния калкулатор на биномно разпределение.
| н | |
| стр | |
| х | |
| Формула на двучленно разпределение = | |
| Формула на двучленно разпределение = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Уместност и употреба
- Резултатите са само два
- Вероятността за всеки резултат остава постоянна от изпитване до изпитване
- Има фиксиран брой опити
- Всяко изпитание е независимо, т.е. взаимно изключващо се от другите
- Той ни предоставя честотното разпределение на възможния брой успешни резултати в даден брой опити, при които всяко от тези опити има еднаква вероятност за успех.
- Всяко изпитване в биномен експеримент може да доведе до само два възможни резултата. Следователно името е „биномно“. Един от тези резултати е известен като успех, а другият като неуспех. Например болните хора могат да реагират на лечение или не.
- По същия начин, когато хвърляме монета, можем да имаме само два вида резултати: глави или опашки. Биномиалното разпределение е дискретно разпределение, използвано в статистиката, което се различава от непрекъснатото разпределение.
Пример за биномен експеримент е хвърлянето на монета, да речем три пъти. Когато обърнем монета, са възможни само два резултата - глави и опашки. Вероятността за всеки резултат е 0,5. Тъй като монетата се хвърля три пъти, броят опити е фиксиран, т.е. 3. Вероятността за всяко хвърляне не се влияе от други хвърляния.
Биномиалното разпределение намира приложение в статистиката на социалните науки. Използва се за разработване на модели за дихотомични променливи на резултатите, където има два резултата. Пример за това е дали републиканците или демократите ще спечелят изборите.
Формула за биномно разпределение в Excel (с Excel шаблон)
Saurabh научи за уравнението за биномно разпределение в училище. Той иска да обсъди концепцията със сестра си и да направи залог с нея. Мислеше, че ще хвърли безпристрастна монета десет пъти. Той иска да заложи $ 100 за получаване на точно пет опашки в 10 хвърляния. За този залог той иска да изчисли вероятността да получите точно пет опашки в 10 хвърляния.
Решение: Първо трябва да разберем какво е n, p и x.
Има вградена формула за биномно разпределение е Excel, което е
Това е BINOM.DIST (брой успехи, опити, вероятност за успех, FALSE).
За този пример за биномно разпределение ще бъде:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE), където клетка B2 представлява броя на успехите, клетка B3 представлява броя на опитите, а клетка B4 представлява вероятността за успех.
Следователно изчисляването на биномното разпределение ще бъде-
P (x = 5) = 0,24609375
Вероятността да получите точно 5 опашки в 10 хвърляния е 0,24609375
Забележка: FALSE в горната формула означава функцията на вероятностната маса. Той изчислява вероятността да има точно n успехи от n независими опити. TRUE обозначава кумулативната функция на разпределение. Той изчислява вероятността да има най-много x успеха от n независими изпитания.
